Matematik sınavlarında (TYT, AYT veya KPSS) karşımıza çıkan "Diziler" konusu, aslında mantığı kavrandığında en kolay net kazanılacak alanlardan biridir. Ancak formüller birbirine karıştığında işin içinden çıkmak zorlaşabilir. "Genel terim neydi?", "Toplam formülü n(n+1)/2 miydi?" diye düşünüyorsanız, doğru yerdesiniz.
Bu rehberde, aritmetik diziler ile ilgili bilmeniz gereken tüm formülleri, kısayolları ve soru tiplerini en sade haliyle anlattık.
Ödevinizi Saniyeler İçinde Kontrol Edin
Karmaşık formüllerle uğraşmak istemiyor musunuz? Veya çözdüğünüz sorunun cevabından emin değil misiniz? Değerleri girin, Aritmetik Dizi Hesaplayıcı aracımız sizin için genel terimi, ortak farkı ve toplamı anında hesaplasın.
Soru 1: Aritmetik Dizi Nedir?
En basit tanımıyla; ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu sayı dizilerine aritmetik dizi denir. Yani sayılar hep aynı miktarda artar veya azalır.
- Örnek 1: 2, 5, 8, 11, 14... (Her adımda +3 artıyor. Bu bir aritmetik dizidir.)
- Örnek 2: 10, 8, 6, 4... (Her adımda -2 azalıyor. Bu da bir aritmetik dizidir.)
Soru 2: Ortak Fark ($d$) Nasıl Bulunur?
Dizinin artış veya azalış miktarına "Ortak Fark" denir ve genellikle $d$ veya $r$ harfiyle gösterilir. Bulmak için herhangi bir terimden, kendinden bir önceki terimi çıkarmanız yeterlidir.
Eğer ortak fark ($d$) pozitifse dizi artan, negatifse dizi azalan bir dizidir.
Soru 3: Genel Terim Formülü ($a_n$) Nedir?
Bir dizinin kuralını veren formüldür. Bu formülü biliyorsanız, dizinin 100. terimini bile tek işlemle bulabilirsiniz. Google'da en çok aranan formül budur.
Genel Terim Formülü
$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
- $a_n$: Bulmak istediğiniz n. terim
- $a_1$: Dizinin ilk terimi
- $n$: Terim sayısı
- $d$: Ortak fark
Örnek: İlk terimi 3, ortak farkı 4 olan dizinin 10. terimi kaçtır?$a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 36 = 39$
Soru 4: Aritmetik Dizi Toplam Formülü ($S_n$) Nedir?
Bir dizinin ilk $n$ teriminin toplamını bulmak için (örneğin ilk 50 sayının toplamı) tek tek toplama yapmanıza gerek yoktur. Ünlü matematikçi Gauss'un geliştirdiği yöntem kullanılır.
Toplam Formülü ($S_n$)
$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$
Mantığı Şudur: (Terim Sayısı / 2) x (İlk Terim + Son Terim). Yani aslında sayıların ortalamasını alıp terim sayısıyla çarparız.
Sınav Taktikleri: Soruları Hızlı Çözme Yolları
Taktik 1: İki Terim Arasındaki İlişki
Sınavlarda genellikle $a_1$ verilmez, bunun yerine $a_5$ ve $a_9$ verilir. Bu durumda şu pratik yolu kullanın:
Herhangi iki terim arasındaki fark, indisleri (sıraları) farkı kadar ortak farka eşittir.
Formül: $a_x = a_y + (x-y) \cdot d$
Örnek: $a_{10} = a_3 + 7d$ (Çünkü 10 - 3 = 7)
Taktik 2: Ortanca Terim Özelliği
Bir aritmetik dizide, bir terim kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
Formül: $a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$
Örnek: $a_5$, $a_4$ ile $a_6$'nın tam ortasındadır ve toplamlarının yarısıdır.
Sıkça Sorulan Sorular
Aritmetik dizi ile Geometrik dizi farkı nedir?
Aritmetik dizide terimler toplayarak/çıkararak ilerler (2, 4, 6...). Geometrik dizide ise çarparak/bölerek ilerler (2, 4, 8, 16...).
1'den n'e kadar sayıların toplamı formülü nedir?
Bu aslında ortak farkı 1 olan bir aritmetik dizidir. Formülü: $\frac{n \cdot (n+1)}{2}$'dir.
Matematikle İnatlaşmayın, Hesaplayın!
Elinizdeki dizinin 50. terimini veya ilk 100 terim toplamını merak mı ediyorsunuz? Kağıt kalemle uğraşmayın.
Aritmetik Dizi Hesapla